[本站讯] 近日，山东大学数学与交叉科学研究中心博士生刘名伦的博士论文“Quantitative stratification and optimal regularity for harmonic almost complex structures”被国际著名综合性数学期刊Advances in Mathematics接受。论文合作者包括博士导师郭常予教授和三峡大学三峡数学研究中心向长林教授。

近复结构是复几何与辛几何的核心研究对象之一。著名数学家Calabi和Gluck曾提出一个基本问题：在给定的近复流形上，如何寻找“最优”的近复结构？为此，C. Wood 在20世纪90年代初的系列工作中引入了调和近复结构的概念，试图通过Dirichlet能量来寻找具有最好性质的复结构。此后很长一段时间内，许多几何学家对光滑调和近复结构展开了深入研究。2025 年，著名华人数学家Weiyong He率先研究了Sobolev正则性假设下的极小调和近复结构的正则性理论，并成功建立了部分正则性和几乎最优全局正则性理论。然而，由于技术限制，He没有建立极小调和近复结构的最优正则性，也没有发现至关重要的奇点集深入的几何结构。在He的论文中，作者提出如下基础性公开问题：极小调和近复结构的奇点集是否具有可求长性质？能否证明极小调和近复结构的最优全局正则性？

在刘名伦的博士论文中，作者成功将国际著名数学家Naber和Valtorta在2017年Ann. Math.突破性工作中引进的“量化分层”方法应用于极小调和近复结构的研究中，通过建立带误差的单调不等式、唯一延拓定理、紧致性定理等关键性结果，证明了极小调和近复结构奇点集分层集的可求长性质、奇点集的最优体积估计，最终成功建立最优高阶正则性估计。上述结果也完全解决了Weiyong He提出的公开问题。此外，在论文中，作者观察到弱调和近复结构对应Euler-Lagrange方程新的结构特点，应用 Hardy-BMO对偶方法给出了调和近复结构部分正则性的新简化证明，并在此情形证眀了著名数学家Riviere关于调和映照正则性猜想成立。这项工作建立了完整的调和近复结构正则性研究框架，为后续进一步研究相关几何分析问题奠定了提供了新的工具和想法。

Advances in Mathematics 创刊于1961年，致力于发表数学领域具有创新性的重要成果，是数学领域的著名综合性期刊。