一、题目

丢番图逼近在群论中的应用

二、主讲人

任金波

三、摘要

丢番图理论的一个基本问题是，如果一个多项式方程$F(x_1,...,X_m)=0$包含很多“特殊解”，那么是否这个方程拥有特殊的样子？这个问题拥有深刻的背景。令$V$是由若干个上述多项式方程零点定义的代数簇。当$V$是环面$\mathbb{G}_m^n$的子簇时，这个问题本质上是Roth的关于用有理数逼近无理数的菲尔兹奖工作及其推广；当$V$是阿贝尔簇的子簇时，这个问题蕴含了Faltings关于费马大定理的菲尔兹奖工作；而当$V$是志村簇的子簇时，这个问题又和椭圆曲线乃至阿贝尔簇的复乘理论密切相关。另一方面，在群论中，一个抽象群$\Gamma$被称为有界生成的，如果它可以写成有限个循环子群的乘积即$\Gamma=\langleg_1rangle...\langleg_r\rangle$。有界生成的研究在很多领域，例如Serre的同余子群问题，Margulisrigidity以及KazhdanProperty(T)都有重要应用。在我最近的合作中，我们使用了上述丢番图理论的一个定理，证明了一个算术群通常是不能被半单元素有界生成的。事实上，我们证明了能够被半单元素有界生成的集合的增长速度至多是$O(\logT)$，其中$T$是由丢番图几何定义的一个数点函数叫做高度。

四、主讲人简介

任金波，普林斯顿高等研究所

五、邀请人

崔为登、赵立璐

六、时间

3月23日（周三）10:00-11:00

七、地点

腾讯会议 ID：224840946